如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答：

1. 如图所示，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；点Q从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设运动时间为t秒 $\text{[math]}$ ，请回答：

(1) 当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求t的值；

(2) 当t为何值时，点P在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？

(3) 在运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为AB的中点，点E在直线BC上移动，以DE为边向右作等边三角形DEF，连接CF．

(1) 当点E在线段BC上移动时，如图①所示，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当点E在直线BC上移动时，如图②、图③所示，线段EC、CF与AC之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12

(1) 求证：BD⊥BC．

(2) 求DB的长．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求t的值；

(3) 深入探索：若点P运动到边 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求t的值．

综合题普通