如图，在中，，， D为AB的中点，点E在直线BC上移动，以DE为边向右作等边三角形DEF，连接CF．

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为AB的中点，点E在直线BC上移动，以DE为边向右作等边三角形DEF，连接CF．

(1) 当点E在线段BC上移动时，如图①所示，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当点E在直线BC上移动时，如图②、图③所示，线段EC、CF与AC之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

【考点】

等边三角形的性质; 三角形-动点问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒 $\text{[math]}$ 的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求t的值；

(3) 深入探索：若点P运动到边 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是等腰三角形，求t的值．

综合题普通

2. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的位置随点 $\text{[math]}$ 位置的变化而变化，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当点 $\text{[math]}$ 在菱形 $\text{[math]}$ 内部或边上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图②、图③，请分别写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，不需证明．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以4cm/s的是速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，同时点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以2cm/s的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的时间是 $\text{[math]}$ s.过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 四边形 $\text{[math]}$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 $\text{[math]}$ 值；如果不能，请说明理由；

(3) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？请说明理由.

综合题困难