为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠E=90°， ∠DAE=60°， ∠D=30°，分别作∠BAE， ∠CAD的平分线AM，AN.试求出∠MAN的度数. 为了便于同学们探究，特别进行了以下活动：[初步探究]现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，AM，AN仍然是∠BAE， ∠CAD的平分线.在图2中AB与AD重合，在图3中AB，AE与AM重合在一起.

1. 为了培养同学们的几何思维能力，张老师给同学们设置了一道几何题探究题：将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠E=90°， ∠DAE=60°， ∠D=30°，分别作∠BAE， ∠CAD的平分线AM，AN.试求出∠MAN的度数. 为了便于同学们探究，特别进行了以下活动：

[初步探究]现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，AM，AN仍然是∠BAE， ∠CAD的平分线.在图2中AB与AD重合，在图3中AB，AE与AM重合在一起.

(1) 图2中∠MAN的度数为°，图3中∠MAN的度数为°.

(2) [深入探究]通过初步探究，请你猜想图1中∠MAN的度数为 ▲ °.如果设∠BAD= $\text{[math]}$ ，请求出图1中∠MAN的度数.

【考点】

角的运算; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题普通

1. 综合与实践

(1) 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察下列两个问题.
问题1：已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD=°.
问题2：已知AB=60，C是AB的中点，D是AC的中点，则AD的长为.
数学思考：回答问题1与问题2的填空.

(2) 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系.

老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题.

如图①，点O在直线AB 上，∠COD=90°（OC，OD 在直线AB 同侧），OE，OF 分别平分∠AOC，∠BOD，求∠EOF的度数（无需作答）.

完成下列问题的解答：

①“运河小组”提出问题：如图②，线段AB=180，点C，D在线段AB上（AC<AD），CD=90，E，F分别是线段AC，BD的中点，求 EF 的长；

②“武林小组”提出问题：如图③，点O在直线AB 上，∠COD=90°（OC，OD 在直线AB 两侧），OE，OF 分别平分∠AOC，∠BOD，求∠EOF 的度数.

实践探究题困难

2. 如图，直线AB，CD相交于点 O，OE平分∠BOC.

(1) 【基础尝试】

如图①，若∠AOC=40°，则∠DOE 的度数为；

(2) 【画图探究】

作∠COF=90°，设∠AOC=x°，请你利用图②画出图形，探究∠AOC 与∠EOF 之间的关系；

(3) 【拓展运用】

在第（2）题中，∠EOF 可能和∠DOE 互补吗? 请你作出判断并说明理由.

实践探究题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 是直角， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(1) 初步尝试：如图①，若 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 类比探究：在图①中，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 解决问题：如图②， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 是直角， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数之间的数量关系．

实践探究题困难