如图①，在矩形ABCD中，是BC上的点，沿AP折叠，点的对应点是，延长PM交直线AD于点.

1. 如图①，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ 是BC上的点， $\text{[math]}$ 沿AP折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点是 $\text{[math]}$ ，延长PM交直线AD于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 如图②， $\text{[math]}$ 是AD上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 沿CQ折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点是 $\text{[math]}$ ，且点P，M，N，Q在同一直线上.

①若AB=4，AD=8，求BP的长.

②若点M，N重合，求 $\text{[math]}$ 的值.

(3) 如图③，Q是AD上的点，QD=BP， $\text{[math]}$ 沿CQ折叠，点D的对应点是N.若AB=4，MN的最小值是1，求AD的长.

【考点】

等边三角形的性质; 勾股定理; 矩形的判定与性质; 翻折变换（折叠问题）; 分类讨论;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．

(1) 求证：四边形 AEFD 是矩形；

(2) 连接 AF，若 $\text{[math]}$ ， BE＝1，AD＝3，求AF的长．

综合题普通

2. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.

(1) 求证：四边形ABCD是矩形；

(2) 若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.

综合题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是矩形；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通