如图，在矩形ABCD中，点E ， F分别为对边AD ， BC的中点，线段EF交AC于点O ，延长CD于点G ，连结GE并延长交AC于点Q ，连结GF交AC于点P ，连结QF ．

1. 如图，在矩形ABCD中，点E ， F分别为对边AD ， BC的中点，线段EF交AC于点O ，延长CD于点G ，连结GE并延长交AC于点Q ，连结GF交AC于点P ，连结QF ．

(1) 若DG＝ $\text{[math]}$ CD ．

①求证：点Q为OA的中点．

②若OA＝1，∠ACB＝30°，求QF的长．

(2) 求证：FE平分∠QFP ．

(3) 若CD＝mDG ，求 $\text{[math]}$ ．（结果用含m的代数式表示）.

【考点】

线段垂直平分线的性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

综合题普通

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

综合题普通

3. 如图，半圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 的延长线）于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 或点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ 的值为0）

小石根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小石的探究过程，请补充完整：

$\text{[math]}$	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
$\text{[math]}$	0	3.7	a	3.8	3.3	2.5	b

上表中 a=，b=.

当 $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 所夹的锐角为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长度约为 $\text{[math]}$ .（结果保留一位小数）

综合题普通