探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图图，弹弓的两边可看成是平行的，即各活动小组探索与，之间的数量关系已知，点不在直线和直线上，在图中，智慧小组发现：智慧小组是这样思考的：过点作，．

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1. 探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ ，弹弓的两边可看成是平行的，即 $\text{[math]}$ 各活动小组探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 不在直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 上，在图 $\text{[math]}$ 中，智慧小组发现： $\text{[math]}$ 智慧小组是这样思考的：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 填空：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．

(2) 在图 $\text{[math]}$ 中，猜测 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并完成证明．

(3) 善思小组提出：
$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为 ▲ $\text{[math]}$ 直接填空 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为 ▲ $\text{[math]}$ 直接填空 $\text{[math]}$

【考点】

角的运算; 平行线的判定与性质; 作图-平行线; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题困难

1. 根据以下素材，尝试解决问题.

综合与探究
素材1	如图1，O是弹力墙MN 上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O 向ON 的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM 的位置弹回，继续转向 ON位置⋯⋯如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转(如图2)：第1步，从OA。(OA₀在OM上)开始旋转α至OA₁；第2步，从 OA₁开始继续旋转2α至OA₂；第3步，从 OA₂ 开始继续旋转3α至OA₃……
素材2	例如：当α=30°时，OA₁ ， OA₂ ， OA₃ ， OA₄的位置如图2所示，其中OA₃恰好落在ON上，∠A₃OA₄=120°；当α=20°时，OA₁ ， OA₂ ， OA₃ ， OA₄ ， OA₅的位置如图3 所示，其中第4 步旋转到 ON后弹回，即∠A₃ON+∠NOA₄=80°，而 OA₅恰好与OA₂ 重合.
问题解决
问题1	(1)若α=35°，在图4中借助量角器画出OA₂ ， OA₃ ，其中∠A₃OA₂ 的度数为 °.
问题2	(2)若α<30°，且OA₁所在的射线平分∠A₂OA₃ ，在如图5 中画出OA₁ ， OA₂ ， OA₃ ， OA₄并求出α的值.
问题3	(3)若α<36°，且∠A₂OA₄=20°，则对应的α的值是 .
问题4	(4)当OA；所在的射线是∠A，OAₖ(i，j，k是正整数，且OAⱼ 与OAₖ不重合)的平分线时，旋转停止，请探究：对于任意角α(α的度数为正整数，且α<180°)，旋转是否可以停止? 写出你的探究思路.