问题情景：

1. 问题情景：

(1) 如图①，已知 $\text{[math]}$ ．试 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是 $\text{[math]}$ ．请你帮他完善证明过程：

如图②，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ▲

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ▲ ．

$\text{[math]}$ ▲

$\text{[math]}$

即 $\text{[math]}$ ．

(2) 在图①中．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请你计算 $\text{[math]}$ 的度数等于．

(3) 问题迁移：如图③． $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

请你猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？并说明理由．

【考点】

平行线的判定与性质;

【答案】

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实践探究题普通

1. 【感知】已知：如图①，点E在AB上，且CE平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(1) 将下列证明过程补充完整：

证明：∵CE平分 $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ ▲ （角平分线的定义），

∵ $\text{[math]}$ （已知），

∴ $\text{[math]}$ ▲ （等量代换），

∴ $\text{[math]}$ （）．

(2) 【探究】已知：如图②，点E在AB上，且CE平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 【应用】如图③，BE平分 $\text{[math]}$ ，点A是BD上一点，过点A作 $\text{[math]}$ 交BE于点E， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

实践探究题普通

2. 问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

(1) 数学活动小组经过讨论形成下列推理，请你补全推理依据．

如图2，过点P作PE∥AB，

∵PE∥AB(作图知)

又∵AB∥CD，

∴PE∥CD．

∴∠A+∠APE=180°．

∠C+∠CPE=180°．

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

(2) 如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD与α、β之间有何数量关系？请说明理由．

(3) 在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与α、β之间的数量关系．

实践探究题普通

(1) 【感知】如图①， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试说明 $\text{[math]}$ .下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）.

证明：如图①过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ （），

$\text{[math]}$ （已知），EF $\text{[math]}$ （辅助线作法），

$\text{[math]}$ （），

$\text{[math]}$ （），

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ （）.

(2) 【探究】当点 $\text{[math]}$ 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明 $\text{[math]}$ .

(3) 【应用】如图③，延长线段 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为.（请直接写出答案）

实践探究题困难