问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图①在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

1. 问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $\text{[math]}$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即：如图①在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

(1) 如图①，作AB边上的中线CE ，得到结论：① $\text{[math]}$ 为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为；

(2) 如图②，CE是△ABC的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD ，作等边△ADP ，且点P在∠ACB的内部，连接BP ．试探究线段BP与DP之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明；

(3) 如图③，当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段BP与DP之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．

【考点】

三角形全等的判定; 等边三角形的性质; 三角形的综合; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【提出问题】
我们已经知道了三角形全等的判定方法 $\text{[math]}$ 和直角三角形全等的判定方法 $\text{[math]}$ ，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形 $\text{[math]}$ ”的情形进行探究．
【探索研究】
已知：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，根据，可知 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请用直尺和圆规作作出 $\text{[math]}$ ，通过作图，可知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等． $\text{[math]}$ 填“一定”或“不一定” $\text{[math]}$

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．

(4) 【归纳总结】

如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是
时，这两个三角形一定全等． $\text{[math]}$ 填序号 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 锐角； $\text{[math]}$ 直角； $\text{[math]}$ 钝角．

实践探究题普通

2. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(1) 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ：
$\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 再连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 集中在 $\text{[math]}$ 中； $\text{[math]}$ 利用三角形的三边关系可得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是▲ ．

(2) 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请写出图 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并证明；

(3) 思考：已知，如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量和位置关系，并加以证明．

实践探究题困难

(1) 【初步探索】如图1：在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是BC、CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使 $\text{[math]}$ ．连接AG ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是．

(2) 【灵活运用】

如图2，若在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是BC、CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3) 【拓展延伸】

已知在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

实践探究题困难