【提出问题】我们已经知道了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究．【探索研究】已知：在和中，，，．

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1. 【提出问题】
我们已经知道了三角形全等的判定方法 $\text{[math]}$ 和直角三角形全等的判定方法 $\text{[math]}$ ，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形 $\text{[math]}$ ”的情形进行探究．
【探索研究】
已知：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，根据，可知 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，请用直尺和圆规作作出 $\text{[math]}$ ，通过作图，可知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等． $\text{[math]}$ 填“一定”或“不一定” $\text{[math]}$

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．

(4) 【归纳总结】

如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是
时，这两个三角形一定全等． $\text{[math]}$ 填序号 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 锐角； $\text{[math]}$ 直角； $\text{[math]}$ 钝角．

【考点】

三角形全等的判定; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题普通

1. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(1) 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ：
$\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 再连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 集中在 $\text{[math]}$ 中； $\text{[math]}$ 利用三角形的三边关系可得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是▲ ．

(2) 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请写出图 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并证明；

(3) 思考：已知，如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量和位置关系，并加以证明．

实践探究题困难

(1) 【初步探索】如图1：在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是BC、CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，探究图中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使 $\text{[math]}$ ．连接AG ，先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论，他的结论应是．

(2) 【灵活运用】

如图2，若在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是BC、CD上的点，且 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

(3) 【拓展延伸】

已知在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

实践探究题困难

3. 综合探究

直观感知和操作确认是几何学习的重要方式，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 尺规作图：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，作 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2) 操作探究：在（1）的条件下，将 $\text{[math]}$ 沿着过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 三边所在直线上（顶点除外），画出示意图；

(3) 迁移运用：

①如图2，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图3，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠至 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值.

实践探究题困难