已知椭圆：（）的上顶点为A ，离心率为．抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长．

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的上顶点为A ，离心率为 $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 截x轴所得的线段长为 $\text{[math]}$ 的长半轴长．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过原点的直线l与C相交于B ， C两点，直线AB ， AC分别与 $\text{[math]}$ 相交于P ， Q两点

①证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；

②记△ABC和△APQ的面积分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知焦点在x轴上的椭圆C： $\text{[math]}$ ，长轴长为4，离心率为 $\text{[math]}$ ，左焦点为F ．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N ．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 左焦点

$\text{[math]}$ 、右顶点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，四点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中恰有三点在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有且仅有一个公共点，且与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 面积取最小值时，求此时直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题普通