综合与实践【动手操作】数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A ．求作：直线，使得．小明同学设计的做法如下：①在直线l上取两点B、C ，连接，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D ，交线段于点E；②分别以点D和E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F ，作射线BF；③以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线于点P ，作直线．则直线平行于直线l ．

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1. 综合与实践

【动手操作】

数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A ．求作：直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．小明同学设计的做法如下：

①在直线l上取两点B、C ，连接 $\text{[math]}$ ，以点B为圆心，小于 $\text{[math]}$ 的长度为半径作弧，交线段 $\text{[math]}$ 于点D ，交线段 $\text{[math]}$ 于点E；

②分别以点D和E为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内交于点F ，作射线BF；

③以点A为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，交射线 $\text{[math]}$ 于点P ，作直线 $\text{[math]}$ ．

则直线 $\text{[math]}$ 平行于直线l ．

(1) 根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）

(2) 【验证证明】

请证明直线 $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展延伸】

已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积关系；

(4) 【应用实践】

某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形 $\text{[math]}$ 空地上划出20km²区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ km， $\text{[math]}$ km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段 $\text{[math]}$ 上取一点E使得四边形 $\text{[math]}$ 的面积为20km² ，则 $\text{[math]}$ km．

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形的面积; 等腰三角形的性质; 等腰三角形的判定; 角平分线的概念; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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实践探究题困难

1. 阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S_△_ABD=S_△_AC_D= $\text{[math]}$ S_△AB_C ．

操作与探索：

在图2至图4中，△ABC的面积为a．

(1) 如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S₁ ，则S₁=．（用含a的代数式表示）．

(2) 如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S₂ ，则S₂=（用含a的代数式表示）．

(3) 在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图4）．若图4中△DEF的面积为S₃ ，则S₃=（用含a的代数式表示）．

实践探究题普通

2. 阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图 $\text{[math]}$ ，对面积为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 逐次进行以下操作：分别延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顺次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，记其面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

小明是这样思考和解决这个问题的：如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ C、 $\text{[math]}$ A、 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以 $\text{[math]}$ ，由此继续推理，从而解决了这个问题．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用含字母 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ．

(2) 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值．

实践探究题普通