过点作直线与抛物线相交于，两点．

1. 过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 若直线 $\text{[math]}$ 的斜率是 $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 设原点为 $\text{[math]}$ ，问：直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【考点】

抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知动点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的准线的距离为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小值为5.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且直线 $\text{[math]}$ 的斜率与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的斜率.

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的重心恰为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题普通

3. 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在第一象限，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 相切的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的斜率．

解答题普通