已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）

1. 已知抛物线C：y²=2px过点P（1，1）．过点（0， $\text{[math]}$ ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）

(1) 求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2) 求证：A为线段BM的中点．

【考点】

抛物线的简单性质; 抛物线的应用; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，抛物线在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 点处的切线为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为45°时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点A，B，C在抛物线E上，且A在x轴上方，B和C在x轴下方(B在C左侧)，A，C关于x轴对称，直线AB交x轴于点M，延长线段CB交x轴于点Q，连接QA.

(1) 证明： $\text{[math]}$ 为定值(O为坐标原点)；

(2) 若点Q的横坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的内切圆的方程.

解答题困难

3. 如图，O为坐标原点，F为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，过F的直线交抛物线于A ， B两点，直线AO交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B点处的切线为l.

(1) 若直线l与y轴的交点为E ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 过点B作l的垂线与直线 $\text{[math]}$ 交于点G ，求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难