【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长．解：是由折叠而得到，．，．，．，的周长为：．

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1. 【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的周长．

解： $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ 折叠而得到，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 的周长为： $\text{[math]}$ ．

(1) 【知识应用】在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在B边上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点P连接 $\text{[math]}$ ．如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 如图2，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

(3) 【拓展应用】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点连接 $\text{[math]}$ ，过点P作 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 长．

【考点】

三角形的面积; 角平分线的性质; 翻折变换（折叠问题）; 角平分线的判定;

【答案】

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实践探究题困难

1. 阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S_△_ABD=S_△_AC_D= $\text{[math]}$ S_△AB_C ．

操作与探索：

在图2至图4中，△ABC的面积为a．

(1) 如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S₁ ，则S₁=．（用含a的代数式表示）．

(2) 如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S₂ ，则S₂=（用含a的代数式表示）．

(3) 在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图4）．若图4中△DEF的面积为S₃ ，则S₃=（用含a的代数式表示）．

实践探究题普通

2. 阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图 $\text{[math]}$ ，对面积为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 逐次进行以下操作：分别延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顺次连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，记其面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

小明是这样思考和解决这个问题的：如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ C、 $\text{[math]}$ A、 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以 $\text{[math]}$ ，由此继续推理，从而解决了这个问题．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 用含字母 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ．

(2) 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长分别交边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则把 $\text{[math]}$ 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的中线 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值．

实践探究题普通

[感知]如图①，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任一点，作PD⊥OA．PE⊥OB，垂足分别为D和E．易知PD=PE(不需要证明) ；

(1) [探究]如图②，在△ABC中，AD是它的角平分线．若AB：AC=5：3，求△ABD与△ACD的面积比；

(2) [应用]如图③，△ABC的周长是8，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD=2，则△ABC的面积为

实践探究题普通