已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$ ，过抛物线上一点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴作垂线，垂足恰好为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 轴上的一个定点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．记直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

【考点】

抛物线的定义; 抛物线的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于A ， B两点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 抛物线的准线与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交抛物线于M ， N两点，当 $\text{[math]}$ 时，求直线l的方程．

解答题普通

2. 已知动点P到直线 $\text{[math]}$ 的距离比到点 $\text{[math]}$ 距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E ．

(1) 求E的方程；

(2) 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线l交E于A ， B两点，且 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．

解答题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点且三角形MOF的面积为 $\text{[math]}$ （其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P ， Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M ，过点M作 $\text{[math]}$ 交PQ于点N.

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.

解答题困难