已知双曲线与双曲线有相同的浙近线，且双曲线的上焦点到一条渐近线的距离等于2.

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的浙近线，且双曲线 $\text{[math]}$ 的上焦点到一条渐近线的距离等于2.

(1) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 已知动直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有且仅有一个交点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 与两坐标轴分别交于 $\text{[math]}$ .设点 $\text{[math]}$ .

（i）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（ii）若对于一般情形，曲线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ，动直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.

【考点】

双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 的外接圆与抛物线 $\text{[math]}$ 的准线相切，且该圆的面积为 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点在 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

2. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为4，渐近线方程为 $\text{[math]}$ .

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 双曲线的左､右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作与 $\text{[math]}$ 轴不重合的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点S，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .

（i）设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（ii）求 $\text{[math]}$ 的面积的取值范围.

解答题困难

3. 通过研究，已知对任意平面向量 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到向量 $\text{[math]}$ ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到点P，

(1) 已知平面内点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，把点B绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点P，求点P的坐标：

(2) 已知二次方程 $\text{[math]}$ 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 $\text{[math]}$ 绕原点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 所得的斜椭圆C，

（i）求斜椭圆C的离心率；

（ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 作与两坐标轴都不平行的直线 $\text{[math]}$ 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，直线 $\text{[math]}$ 交斜椭圆C于点G、H，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

解答题困难