如图，已知抛物线经过原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、，点是的中点．

1. 如图，已知抛物线经过原点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 轴上另一点 $\text{[math]}$ ，它的对称轴 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过抛物线上一点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴、直线 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求该抛物线对应的函数关系式；

(3) 若 $\text{[math]}$ 是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，试求出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数-动态几何问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从点 $\text{[math]}$ 开始沿边 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 移动，动点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从点 $\text{[math]}$ 开始沿边 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 移动，若 $\text{[math]}$ 两点分别从 $\text{[math]}$ 两点同时出发，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______， $\text{[math]}$ ______；（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

(2) $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？

(3) $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？

解答题普通

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于A ， B两点（点A在点B左边），与y轴相交于点C ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 请直接写出点A ， B ， C的坐标；

(2) 点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为 $\text{[math]}$ .

①若点P在直线 $\text{[math]}$ 的下方，当四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求m的值；

②过点P作 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点E ，当以点A ， C ， P ， E为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值.

解答题困难

3. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若连接AC、BC.动点D从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段BC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE ，设运动时间为t秒.在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形ADEC的面积最小，最小值为多少？

(3) 点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形CMN？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

解答题困难