如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．

(1) 图中正方形 $\text{[math]}$ 的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？

(2) 若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求 $\text{[math]}$ 的值，

(3) 若正方形 $\text{[math]}$ 从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：

①点P表示的数为多少？

②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？

【考点】

无理数在数轴上表示; 无理数的估值; 探索图形规律; 算术平方根的实际应用;

【答案】

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实践探究题困难

1. 教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A ， B ， C ， D ，得到一个阴影正方形．设每一小方格的边长为1，得到阴影正方形面积为2．

(1) 【基础尝试】：

发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；

(2) 【画图探究】：

如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M ， N两点，则点M表示的数为；

(3) 【问题解决】：

如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成．

①画出面积是5的正方形，使它的顶点在网络的格点上；

②请借鉴（2）中的方法在数轴上找到表示实数 $\text{[math]}$ 的准确位置．（保留作图痕迹并标出必要线段长）

实践探究题普通

2. 下面是小李同学探索 $\text{[math]}$ 的近似数的过程：

$\text{[math]}$ 面积为107的正方形边长是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，画出如图示意图，

因为图中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 较小时，省略 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的整数部分是；

(2) 仿照上述方法，探究 $\text{[math]}$ 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

实践探究题普通

3. 中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数.由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”.我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （即有 $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ，其中a，b，c，d为正整数），则 $\text{[math]}$ 是x的更为精确的近似值.例如：已知 $\text{[math]}$ ，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为 $\text{[math]}$ ；由于 $\text{[math]}$ ≈3.1404＜π，再由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数 $\text{[math]}$ .

(1) 现已知 $\text{[math]}$ ，

使用一次“调日法”计算 $\text{[math]}$ 的一个更为精确的近似分数为；

使用二次“调日法”计算 $\text{[math]}$ 的一个更为精确的近似分数为；

使用三次“调日法”计算 $\text{[math]}$ 的一个更为精确的近似分数为；

(2) $\text{[math]}$ 的整数部分为x，小数部分为y，求x+2y的值.

实践探究题困难