在区间上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增函数”．已知函数．

1. 在区间 $\text{[math]}$ 上，若函数 $\text{[math]}$ 为增函数，而函数 $\text{[math]}$ 为减函数，则称函数 $\text{[math]}$ 为“弱增函数”．已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是否为“弱增函数”；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

函数单调性的判断与证明; 函数单调性的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为单调减函数；

(3) 解不等式 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并用定义证明；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$ ．

（i）求实数a的值；

（ii）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在正实数b，使得对区间 $\text{[math]}$ 上任意三个实数r，s，t，都存在以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

解答题困难