如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

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1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1) 求这个二次函数的解析式；

(2) 是否存在点P ，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 线段垂直平分线的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 综合与实践：探究对比两种水杯装水情况

【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积 $\text{[math]}$ 与高度 $\text{[math]}$ 之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度 $\text{[math]}$ ， 2号杯的水面高度 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 近似关于V的二次函数）．

【项目解决】

(1) 目标1：确定2号杯水的高度．

求 $\text{[math]}$ 关于V的函数关系式．

(2) 目标2：比较水杯的装水高度．

在相同体积下，当两个杯中水在 $\text{[math]}$ 时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差．

综合题普通

2. 如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2) 若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD∥OC交BC于点D，求PD长度的最大值；

(3) 当-1≤x≤m时，y的最大值与最小值的和是-2，求m的值

综合题困难

3. 综合与实践某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务．

课题	用数学的眼光观察校园
调查方式	实地查看了解
调查对象	校门口隔离栏
调查内容	平面图
	数学眼光	各个栏杆上彩色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）
	相关数据	隔离栏 $\text{[math]}$ 长为13米，并且 $\text{[math]}$ 的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度 $\text{[math]}$ 米．隔离栏顶端G距栏杆底部距离 $\text{[math]}$ 米．

任务：

(1) 请以点A为坐标原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．

(2) 若学校从防护栏的顶点G处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？

(3) 若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为 $\text{[math]}$ 米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？

综合题普通