如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

1. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．

(1) 求这个二次函数的解析式；

(2) 是否存在点P ，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

【考点】

二次函数图象与系数的关系; 二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 线段垂直平分线的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 综合与实践：探究对比两种水杯装水情况

【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积 $\text{[math]}$ 与高度 $\text{[math]}$ 之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度 $\text{[math]}$ ， 2号杯的水面高度 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 近似关于V的二次函数）．

【项目解决】

(1) 目标1：确定2号杯水的高度．

求 $\text{[math]}$ 关于V的函数关系式．

(2) 目标2：比较水杯的装水高度．

在相同体积下，当两个杯中水在 $\text{[math]}$ 时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差．

综合题普通

2. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．

如何设计大棚苗木种植方案？

【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面 $\text{[math]}$ ．

【素材2】种植苗木时，每棵苗木高 $\text{[math]}$ ．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔 $\text{[math]}$ ，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）

【解决问题】

(1) 大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；

(2) 探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即 $\text{[math]}$ ），确定种植点的横坐标x的取值范围；

(3) 拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值．

综合题普通

3. 如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2) 若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD∥OC交BC于点D，求PD长度的最大值；

(3) 当-1≤x≤m时，y的最大值与最小值的和是-2，求m的值

综合题困难