在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．

1. 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax²+bx+2（a，b是常数，a≠0）．

(1) 若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式．

(2) 写出一组a，b的值，使函数y＝ax²+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．

(3) 已知，二次函数y＝ax²+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a²+b² $\text{[math]}$ ．

【考点】

二次函数图象与坐标轴的交点问题; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数与一元二次方程的综合应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²+mx﹣3经过点A（3，0），点C是抛物线的顶点，连接AC ．

(1) 求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；

(2) 设直线y＝kx﹣k（k≠0）与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧且点Q在第四象限），当直线PQ与直线AC相交所成的一个角为45°时，求点Q的坐标；

(3) 如图2，作直线AP ， AG分别交y轴正、负半轴于点M、N ，交抛物线于点P、G ，设点M、N的纵坐标分别为m、n ，且mn＝﹣3，求证：直线PG经过一个定点．

综合题困难

2. 公路上正在行驶的甲车发现前方 $\text{[math]}$ 处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 、速度 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式和 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式 $\text{[math]}$ 不要求写出 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$

(2) 当甲车减速至 $\text{[math]}$ 时，它行驶的路程是多少？

(3) 若乙车以 $\text{[math]}$ 的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？

综合题普通

3. 如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），

(1) 求抛物线和直线BC的函数表达式；

(2) 若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；

(3) 点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；

(4) 在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难