折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N.【猜想】

1. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.

【操作】如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点M在边 $\text{[math]}$ 上，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，使点D落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N.

【猜想】 $\text{[math]}$

(1) 【验证】请将下列证明过程补充完整：

∵矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠

∴ $\text{[math]}$ ▲

∵四边形 $\text{[math]}$ 是矩形

∴ $\text{[math]}$ （矩形的对边平行）

∴ $\text{[math]}$ ▲ （）

∴ ▲ $\text{[math]}$ ▲ （等量代换）

∴ $\text{[math]}$ （）

(2) 【应用】

如图2，继续将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，点A落在点 $\text{[math]}$ 处，点B落在点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ .

①猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

等腰三角形的性质; 勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 为线段AB上一点， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 于点C，P为射线CD上一点，连结PA，PB.

(1) 【发现、提出问题】

①当PC=3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

②小亮发现PC取不同值时， $\text{[math]}$ 的值存在一定规律，请猜想该规律： ▲ .

(2) 【分析、解决问题】请证明你的猜想.

(3) 【运用】当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的周长.

实践探究题普通

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难