对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．

1. 对于定义域为 $\text{[math]}$ 的函数，如果存在区间 $\text{[math]}$ ，同时满足下列两个条件：

① $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是单调的；

②当定义域是 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值域也是 $\text{[math]}$ ．则称 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“黄金区间”．

(1) 请证明：函数 $\text{[math]}$ 不存在“黄金区间”．

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．

(3) 如果 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的一个“黄金区间”，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

函数的值域; 函数单调性的判断与证明; 函数单调性的性质; 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系; 一元二次方程的根与系数的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(2) 求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为单调减函数；

(3) 解不等式 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 在区间 $\text{[math]}$ 上，若函数 $\text{[math]}$ 为增函数，而函数 $\text{[math]}$ 为减函数，则称函数 $\text{[math]}$ 为“弱增函数”．已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是否为“弱增函数”；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通