为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率是公比为的等比数列.

1. 为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列.

(1) 求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；

(2) 若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X ，求X的分布列与数学期望.

【考点】

离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 根据过去50年的水文资料，对某水库的年入流量x（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）进行统计整理得到下表：

年入流量x	[20，40)	[40，60)	[60，80)	[80，100)	[100，120)
年数	5	10	20	10	5

将过去50年统计所得的年入流量在五个区间的频率作为年入流量在相应区间的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

已知各年的发电机最多可运行台数N与年入流量x相关，关系如下表：

年入流量x	[40，60)	[60，80)	[80，100)	[100，120)
发电机最多可运行台数N	1	2	3	4

(1) 德国数学家高斯用取整符号“[ ]”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数.例如，当0<x<1时，[x]=0.请运用取整运算，写出发电机最多可运行台数N关于年入流量x的函数解析式；

(2) 当地政府计划在该水库建一座水电站．当发电机正常运行，年利润为4000万元/台；当发电机未运行，年亏损500万元/台．若要使发电机的年总利润的期望值最大，则该水库应安装多少台发电机?

解答题普通

2. 为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2) 若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 $\text{[math]}$ ，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

解答题普通

3. 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通