综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．【问题情境】如图①，在矩形ABCD中，，．将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作交直线BC与点F．【猜想证明】

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1. 综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．

【问题情境】

如图①，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将边AB绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段AE，过点E作 $\text{[math]}$ 交直线BC与点F．

【猜想证明】

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，四边形ABFE的形状为；（直接写出答案）

(2) 如图②，当 $\text{[math]}$ 时，连接DE，求此时 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 【能力提升】

在【问题情境】的条件下，是否存 $\text{[math]}$ ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时BF的长度；若不存在，请说明理由．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 矩形的性质; 正方形的判定; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践课上，李老师让同学们以“翻折”为主题展开探究．

【问题情境】

如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，将边 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

【猜想证明】

（1）当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上时，四边形 $\text{[math]}$ 的形状为______．（直接写出答案）

（2）如图②，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的面积；

【能力提升】

（3）在【问题情境】的条件下，点 $\text{[math]}$ 三点共线，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长度．

实践探究题普通

2. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD ．垂足为O ，则有：AB²+CD²＝AD²+BC²；

（图1）（图2）（图3）

（图4）（图5）

(1) 性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；

(2) 性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP² ．请以图3为例将重要结论证明出来．

(3) 应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则 $\text{[math]}$ ；(写出证明过程）

②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

实践探究题困难

3. 综合与实践

小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：

课题	在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 $\text{[math]}$
模型抽象
测绘数据	①测得水平距离 $\text{[math]}$ 的长为15米．
	②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线 $\text{[math]}$ 的长为17米．
	③牵线放风筝的手到地面的距离 $\text{[math]}$ 为1.6米．
说明	点A，B，E，D在同一平面内

请根据表格信息，解答下列问题．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若想要风筝沿 $\text{[math]}$ 方向再上升12米，则在 $\text{[math]}$ 长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？

实践探究题普通