如图

1. 如图

(1) 【问题原型】华师版教材八年级下册第 $\text{[math]}$ 页有这样一道题：

如图 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
请你完成这一问题的证明过程．

(2) 【问题应用】如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．

①如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为；

②如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的最小值为．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 正方形的性质; 轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【探究发现】如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ，垂足是O ，则图中出现4个直角三角形，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ，据此探索 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的值是否相等，并说明理由．

(2) 【拓展迁移】如图2，以三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 为边向外作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接GE ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $\text{[math]}$ ，那么三角形的面积为 $\text{[math]}$ ．

【解决问题】：已知如图1在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 请你用“海伦-秦九韶公式”求 $\text{[math]}$ 的面积．

(2) 除了利用“海伦-秦九韶公式”求 $\text{[math]}$ 的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．

(3) 如图2，D是 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

实践探究题困难

3. 阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．

(1) 理解并填空：

①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）奇异三角形；

②若某三角形的三边长分别为1， $\text{[math]}$ ， 2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形；

(2) 探究：在 $\text{[math]}$ 中，两边长分别是a，c，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．

实践探究题普通