已知，是非零向量，①；②；③.

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零向量，① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .

(1) 从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

(2) 在①②的条件下， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ .

【考点】

平面向量数量积定义与物理意义; 平面向量数量积的性质; 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角; 利用数量积判断平面向量的垂直关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

2. 已知数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ ，数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平均数为 $\text{[math]}$ ，方差为 $\text{[math]}$ 类似平面向量，定义 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数量积 $\text{[math]}$ 若向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，有恒等式 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值 $\text{[math]}$

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，证明：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(3) 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并证明．

解答题困难

3. 如图，斜坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴正方向同向的单位向量，且 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，定义向量 $\text{[math]}$ 在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中的坐标为有序数对 $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ 在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中完成下列问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

解答题普通