某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，

1. 某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“ $\text{[math]}$ 边形 $\text{[math]}$ 共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，

(1) 请在表格中的横线上填上相应的结果：

多边形的边数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
从多边形的一个顶点出发	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	▲	$\text{[math]}$	▲
多边形对角线的总条数	$\text{[math]}$	▲	▲	$\text{[math]}$	▲

(2) 应用得到的结果解决以下问题：

①求十二边形有多少条对角线？

②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为 $\text{[math]}$ 吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．

【考点】

多边形的对角线; 探索图形规律;

【答案】

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综合题困难

(1) 如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和 $\text{[math]}$ 块正三角形地板砖；以此递推．

①第3层中分別含有块正方形和块正三角形地板砖．

②第n层中含有块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．

(2) 【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．

综合题困难

2. 如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，当正方形只有一个时，等边三角形有 $\text{[math]}$ 个（如图 $\text{[math]}$ ）；当正方形有 $\text{[math]}$ 个时，等边三角形有 $\text{[math]}$ 个（如图 $\text{[math]}$ ）；以此类推 $\text{[math]}$

(1) 若图案中每增加 $\text{[math]}$ 个正方形，则等边三角形增加个；

(2) 若图案中有 $\text{[math]}$ 个正方形，则等边三角形有个．

(3) 现有 $\text{[math]}$ 个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？

综合题困难

3. 如图，自行车每节链条的长度为 $\text{[math]}$ ，交叉重叠部分的圆的直径为 $\text{[math]}$ .

（ $\text{[math]}$ ）观察图形，填写下表：

链条的节数/节	2	3	4	$\text{[math]}$
链条的长度/ $\text{[math]}$				$\text{[math]}$

综合题困难