我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（其中，），将与称为数对的一对“和谐数对”．例如：的一对“和谐数对”为和．

1. 我们规定用 $\text{[math]}$ 表示一对数对，给出如下定义：记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），将 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 称为数对 $\text{[math]}$ 的一对“和谐数对”．例如： $\text{[math]}$ 的一对“和谐数对”为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

(1) 数对 $\text{[math]}$ 的一对“和谐数对”是；

(2) 若数对 $\text{[math]}$ 的一对“和谐数对”相同，则 $\text{[math]}$ 的值为；

(3) 若数对 $\text{[math]}$ 的一个“和谐数对”是 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

定义新运算;

【答案】

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综合题普通

1. 对于任意四个有理数a ， b ， c ， d ，可以组成两个有理数对 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．我们规定： $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ．

根据上述规定解决下列问题：

(1) 有理数对 $\text{[math]}$ ；

(2) 若有理数对 $\text{[math]}$ ，求x的值．

综合题普通

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出如下定义： $\text{[math]}$ ．

(1) 已知点 $\text{[math]}$ ．

①若点Q与点P重合，则 $\text{[math]}$ ；

②若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 正方形四个顶点的坐标分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，在正方形 $\text{[math]}$ 内部有一点 $\text{[math]}$ ，动点Q在正方形 $\text{[math]}$ 的边上及其内部运动．若 $\text{[math]}$ ，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）；

(3) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为奇数，直接写出k的取值范围．

综合题困难

3. 历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号 $\text{[math]}$ 来表示．例如： $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，多项式的值用 $\text{[math]}$ 来表示．例如 $\text{[math]}$ 时，多项式 $\text{[math]}$ 的值记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 值；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求a的值；

(3) 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数)，若对于任意有理数k，总有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通