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1.

(1) [问题探究]

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O．在线段 $\text{[math]}$ 上任取一点P（端点除外），连接 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②将线段 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转，使点D落在 $\text{[math]}$ 的延长线上的点Q处．当点P在线段 $\text{[math]}$ 上的位置发生变化时， $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(2) [迁移探究]

如图2，将正方形 $\text{[math]}$ 换成菱形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其他条件不变．试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

【考点】

正方形的性质; 旋转的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F，G分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 可以看成是 $\text{[math]}$ 绕点M逆时针旋转 $\text{[math]}$ 角所得，请在图中画出点M，并直接写出 $\text{[math]}$ 角的度数；

(2) 当点E位于何处时， $\text{[math]}$ 的面积取得最小值？请说明你的理由；

(3) 试判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 外接圆的位置关系，并说明你的理由．

综合题困难

2. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 依题意补全图形；
$\text{[math]}$ 用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

综合题困难

3. 实践与探究

(1) 操作一：如图①，对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ．把纸片展平后，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 上，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

①当矩形 $\text{[math]}$ 是正方形时， $\text{[math]}$ 是 ▲ 三角形；

②当 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形时，求边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

③若点P、 $\text{[math]}$ 、C共线，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 操作二：如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．先将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ．然后沿过点D的直线折叠，使点C落在直线 $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ．再将矩形沿过点G的直线继续折叠，折痕为 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ．我们发现，点H的位置不同，点B的位置也不同．当点 $\text{[math]}$ 恰好与点 $\text{[math]}$ ．重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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