如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA ，以NA ， NF为邻边作▱ANFG．连结DG ， DN ，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为（0°≤ ≤360°）．

1. 如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA ，以NA ， NF为邻边作▱ANFG．连结DG ， DN ，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ （0°≤ $\text{[math]}$ ≤360°）．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ ＝0°时，DG与DN的关系为；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3) 在Rt△ECF旋转的过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝ $\text{[math]}$ 时，连结GN ，请直接写出GN的长．

【考点】

正方形的性质; 旋转的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

(1) [问题探究]

如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O．在线段 $\text{[math]}$ 上任取一点P（端点除外），连接 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②将线段 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转，使点D落在 $\text{[math]}$ 的延长线上的点Q处．当点P在线段 $\text{[math]}$ 上的位置发生变化时， $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

(2) [迁移探究]

如图2，将正方形 $\text{[math]}$ 换成菱形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，其他条件不变．试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由．

综合题困难

2. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F，G分别为边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 可以看成是 $\text{[math]}$ 绕点M逆时针旋转 $\text{[math]}$ 角所得，请在图中画出点M，并直接写出 $\text{[math]}$ 角的度数；

(2) 当点E位于何处时， $\text{[math]}$ 的面积取得最小值？请说明你的理由；

(3) 试判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 外接圆的位置关系，并说明你的理由．

综合题困难

3. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 依题意补全图形；
$\text{[math]}$ 用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

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