如图，是边长为的正方形磁性约束装置，内部存在垂直纸面方向的匀强磁场，、中点O、处各有一窄缝。平行金属板M、N和边平行，长度为、两板间距离为a ，其中M板紧靠边且中点处的窄缝与边的窄缝对齐，在金属板M、N上加电压时，两板间产生的电场可看成匀强电场。粒子源P不断向外释放电量为、质量为m的粒子，速度大小在之间，各个方向上的粒子数均匀分布。测量发现每秒有N个粒子从点射出，其中速度大小为的粒子恰能垂直边从窄缝射出。不考虑粒子所受重力和粒子间相关作用力，不考虑电、磁场边界效应，粒子撞到装置边界或极板后马上被吸收并立即通过接地线被导走。求：

1. 如图， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形磁性约束装置，内部存在垂直纸面方向的匀强磁场， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中点O、 $\text{[math]}$ 处各有一窄缝。平行金属板M、N和 $\text{[math]}$ 边平行，长度为 $\text{[math]}$ 、两板间距离为a ，其中M板紧靠 $\text{[math]}$ 边且中点处的窄缝与 $\text{[math]}$ 边的窄缝对齐，在金属板M、N上加电压 $\text{[math]}$ 时，两板间产生的电场可看成匀强电场。粒子源P不断向外释放电量为 $\text{[math]}$ 、质量为m的粒子，速度大小在 $\text{[math]}$ 之间，各个方向上的粒子数均匀分布。测量发现每秒有N个粒子从 $\text{[math]}$ 点射出，其中速度大小为 $\text{[math]}$ 的粒子恰能垂直 $\text{[math]}$ 边从窄缝射出。不考虑粒子所受重力和粒子间相关作用力，不考虑电、磁场边界效应，粒子撞到装置边界或极板后马上被吸收并立即通过接地线被导走。求：

(1) $\text{[math]}$ 内磁场的磁感应大小和方向；

(2) 打到 $\text{[math]}$ 边的粒子中，在磁场中运动的最短时间；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，N板上有粒子打到的区域的长度；

(4) 请定性画出每秒打到N板上的粒子数n与电压 $\text{[math]}$ 的关系图线（需标注特征点）。

【考点】

带电粒子在有界磁场中的运动;

【答案】

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综合题困难

1. 如图所示为某离子速度分析器截面图，用于探究空间区域离子发射的速度。在xOy平面（纸面）内，两圆相切于点F ，圆心位置分别为O₁、O₂ ，与x、y轴相切于A、C两点，半径均为R ，两圆心连线与OF垂直，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场B₁、B₂ ，某离子源能发射质量为m、电荷量为q、速度大小、方向不同的正离子，不计离子的重力及相互作用。（已知 $\text{[math]}$ ）

(1) 某离子以速度v₀从A点沿AO₁方向射入磁场B₁ ，经F点进入磁场B₂ ，求磁感应强度B₁的大小；

(2) 调整B₂大小，使满足（1）问中的离子不会碰到y轴，求磁感应强度B₂的大小；

(3) 若离子源发射点在磁场B₁内可移动，且离子的发射方向均沿y轴正方向，要使离子都能从F点垂直OF方向射入B₂场区，求离子发射点位置的函数关系式；

(4) 要使（3）问中的离子都能从F点垂直OF方向射入B₂场区，求B₁磁场的最小面积。

综合题困难

2. 如图1所示，有一对垂直纸面水平放置的平行金属板，板长为 $\text{[math]}$ ，两板间距为 $\text{[math]}$ ，金属板右侧有一个半径为 $\text{[math]}$ 的圆形匀强磁场区域，圆心O位于平行金属板正中间的水平线上，磁场方向垂直纸面向里。金属板左侧的电子枪不断地沿正中间的水平线发射质量为 $\text{[math]}$ 、电荷量为 $\text{[math]}$ 的电子，发射电子的初速度恒定。若在两金属板上加上如图2所示的交变电压 $\text{[math]}$ ，周期为 $\text{[math]}$ ，电子在金属板内运动时间恒为 $\text{[math]}$ ，最大偏距的电子刚好从极板的边缘飞出。电子进入圆形磁场区域后均从磁场边界P点飞出，P点为竖直线与圆形磁场边缘的交点。不计电子间相互作用和重力，忽略金属板区域外的电场及交变电场产生的磁场。求：

(1) 发射电子的初速度 $\text{[math]}$ 大小及两板电压 $\text{[math]}$ ；

(2) 磁感应强度 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 从平行金属板正中间射出的电子和从上极板边缘射出的电子在磁场区域运动的时间之比。

综合题困难

3. 如图所示，半圆形粒子源均匀地产生质量为m、电荷为 $\text{[math]}$ 的粒子。粒子源的电势为U，在粒子源中心放置一接地的粒子接收器P，粒子通过接收器后将会进入到垂直纸面向内的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。磁场的右边界 $\text{[math]}$ 与左边界 $\text{[math]}$ 平行且无限长，磁场宽度为 $\text{[math]}$ ，右边界的 $\text{[math]}$ 段覆盖有粒子吸收膜，可以吸收落在上面的粒子。右边界的 $\text{[math]}$ 段以及左边界都覆盖有弹性膜，当粒子与右边界 $\text{[math]}$ 段发生碰撞时，平行界面速度不变，垂直界面速度反向，且大小降为原来的 $\text{[math]}$ ；当粒子与左边界发生碰撞时，平行界面速度不变，垂直界面速度减为0。当粒子在弹性膜上静止时，就会沉降在弹性膜表面。（不计粒子重力）

(1) 粒子源提供的粒子初速度为零，求粒子到达接收器P的速度v（未知）的大小；

(2) 粒子源提供的粒子初速度为零，求粒子被吸收膜吸收的比例；

(3) 若粒子源提供的粒子初速度可以任意调控，接收器只允许速度垂直于磁场边界的粒子通过，求初速度为 $\text{[math]}$ 运动的粒子最终停的位置。

综合题困难