观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③； ……

1. 观察下列式子的因式分解做法：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；

……

(1) 模仿以上做法，尝试对 $\text{[math]}$ 进行因式分解；

(2) 观察以上结果，猜想 $\text{[math]}$ ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）

(3) 根据以上结论，试求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

因式分解的应用;

【答案】

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综合题普通

1. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： $\text{[math]}$ 因式分解的结果为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时可以得到六位数的数字密码171920．

(1) 根据上述方法，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，对于多项式 $\text{[math]}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）

(2) 若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式 $\text{[math]}$ 分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；

(3) 若多项式 $\text{[math]}$ 因式分解后，利用本题的方法，当 $\text{[math]}$ 时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．

综合题困难

2. 对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，一定有 $\text{[math]}$ ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：

(1) 已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，试判断y的符号；

(2) 已知：a、b、c为三角形的三边，比较 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小．

综合题普通

3. 下面是某同学对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解的过程．

解：设 $\text{[math]}$ ，则原式 $\text{[math]}$ 第一步 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 第二步 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 第三步 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 第四步 $\text{[math]}$

回答下列问题：

(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的____ A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式

(2) 该同学因式分解的结果是否彻底？ $\text{[math]}$ 填“彻底”或“不彻底” $\text{[math]}$

若彻底，直接跳到第(3)问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果：．

(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式 $\text{[math]}$ 进行因式分解．

综合题普通