已知：如图，在梯形中，，过点B作，垂足为点E，点G在边上，连接、，对角线与、分别交于点F、H，且．

1. 已知：如图，在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E，点G在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交于点F、H，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如果 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比例中项，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

【考点】

等腰三角形的性质; 菱形的判定; 比例的性质; 比例线段; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 将一根长为 $\text{[math]}$ 的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为 $\text{[math]}$ ，腰为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求剪掉部分的铁丝长度．

(2) 若围成的等腰三角形的周长为 $\text{[math]}$ ，求铁丝的长度．

综合题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线，请利用尺规作图法，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上分别求作点E、点F，使四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.（保留作图痕迹，不写作法）

综合题普通

3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于D点，交BC于E点，过点A作BC的平行线交直线ED于F点，连接AE，CF．

(1) 求证：四边形AECF是菱形；

(2) 若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．

综合题普通