如图，是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入编号为的球槽内．用X表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为），用Y表示小球最后落入球槽的号码．

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1. 如图，是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入编号为 $\text{[math]}$ 的球槽内．用X表示小球经过第7层通过的空隙编号（从左向右的空隙编号依次为 $\text{[math]}$ ），用Y表示小球最后落入球槽的号码．

(1) 若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第3个空隙处的概率；

(2) 若放入80个小球，求落入1号球槽的小球个数Z的均值与方差．

【考点】

离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差; 二项分布;

【答案】

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解答题普通

1. 一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖 $\text{[math]}$ 次，总得分为 $\text{[math]}$ ，每次中奖的概率为 $\text{[math]}$ ，且每次摸奖相互独立．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率分布列和数学期望；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的数学期望与10的大小，并说明理由．

解答题普通

2. 在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X

相关公式： $\text{[math]}$

(1) 当 n=2 时，写出X的分布列和期望.

(2) 记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.

①求出 a+b 的期望 E(a+b)

②现在实际上选取了四个点 $\text{[math]}$ 尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 $\text{[math]}$ (四舍五入取整).

(3) 记方差 D(X)，试证明 D(X)< $\text{[math]}$

解答题普通

3. 组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B ，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X ，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y ．若将100万资金按 $\text{[math]}$ 进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求Z的期望与方差；

(2) 已知随机变量X满足分布列：

X	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$

随机变量Y满足分布列：

Y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$

且随机变量X与Y相互独立，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目 $\text{[math]}$ 是低风险资产，满足 $\text{[math]}$ ．试问 $\text{[math]}$ 能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．

解答题困难