组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B ，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X ，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y ．若将100万资金按进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足，其中．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.

1. 组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B ，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X ，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y ．若将100万资金按 $\text{[math]}$ 进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求Z的期望与方差；

(2) 已知随机变量X满足分布列：

X	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$

随机变量Y满足分布列：

Y	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$

且随机变量X与Y相互独立，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目 $\text{[math]}$ 是低风险资产，满足 $\text{[math]}$ ．试问 $\text{[math]}$ 能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．

【考点】

离散型随机变量的期望与方差; 二项分布;

【答案】

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解答题困难

1. 某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

(2) 为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之中选其一，应选用哪个?(实际获利=生产线创造利润－维修工人工资)

解答题普通

2. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1) 若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

(2) 若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

(3) 如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

解答题普通

3. 已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到如下频率分布直方图.

(1) 用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2) 按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.

（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；

（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间 $\text{[math]}$ 内的个数为X ，求X的分布列与数学期望.

解答题普通