已知函数．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极值，求k的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，判断函数 $\text{[math]}$ 的零点个数．

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 函数在某点取得极值的条件;

【答案】

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解答题普通

(1) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点，求a的取值范围.

解答题困难

2. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且对于运算“ $\text{[math]}$ ”， $\text{[math]}$ 表示坐标为 $\text{[math]}$ 的点．若点U ， V ， W满足 $\text{[math]}$ ，则称V与U相似，记作V~U ．若存在单调函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对于 $\text{[math]}$ 图像上任意一点T ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 图像上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．

(1) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且N~M ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 证明：若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．设R~S ，且 $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 设M是由满足下列条件的函数 $\text{[math]}$ 构成的集合：①方程 $\text{[math]}$ 有实根；② $\text{[math]}$ 在定义域区间D上可导，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

(1) 判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ 为集合M中的任意一个元素，证明：对其定义域区间D中的任意 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$

解答题普通