某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

1. 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1) 发现问题：如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 类比探究：如图2，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上任意一点，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 运动过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．

(3) 拓展应用：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的中心，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 四边形的综合; 四边形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 的方向运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，运动停止.点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ 秒.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使得平行四边形 $\text{[math]}$ 为菱形?若存在，请求出 $\text{[math]}$ 值；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 已知：如图①，菱形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 相交于点O，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，直线 $\text{[math]}$ 从点D出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．解答下列问题：

(1) 当t为何值时，点A在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？

(2) 设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求y与t之间的函数关系式；

(3) 如图②，连接 $\text{[math]}$ ，是否存在某一时刻t，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2 $\text{[math]}$ ，AB＝4 $\text{[math]}$ ，DM⊥AC于点M ，在对角线AC上取一点N ，使得2CN＝3AM ，连接DN并延长交BC于点E ， F是AB上一点，连接EF ， MF ．当点P从点E匀速运动到点F时，点Q恰好从点M匀速运动到点N ．

(1) 求AM ， CE的长．

(2) 若EF∥AC ，记EP＝x ， AQ＝y ．

①求y关于x的函数表达式．

②连接PQ ，当直线PQ平行于四边形DEFM的一边时，求所有满足条件的x的值．

(3) 在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和D时，记点Q的运动速度为v₁ ，记点P的运动速度为v₂ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难