如图，在正方形中，E是边上的一点，F是边延长线上的一点，且．

1. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，F是边 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

正方形的性质; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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综合题普通

(1) 数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．

请你写出证明过程．

(2) 在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

(3) 如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．

综合题困难

2. 正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请你用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：．

综合题普通

3. 如图（1），正方形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， E是AC上一点，连接DE ，过点A作AM⊥DE ，垂足为M ， AM与BD相交于点F ．

(1) 直接写出OE与OF的数量关系：；

(2) 如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥DE于点M ， AM交BD的延长线于点F ，其他条件不变．试探究OE与OF的数量关系，并说明理由．

综合题困难