如图，已知菱形ABCD， E为对角线AC上一点.

1. 如图，已知菱形ABCD， E为对角线AC上一点.

(1) [建立模型]
如图1，连结BE， DE.求证：∠EBC=∠EDC.

(2) [模型应用]
如图2， F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC， EF交AB于点G.

①判断△FBG的形状，并说明理由.

②若G为AB的中点，且AB=4，∠ABC=60°，求AF的长.

(3) [模型迁移]
F是DE延长线上一点，∠EBF=∠ABC， EF交射线AB于点G，且sin∠BAC= $\text{[math]}$ ， BF//AC.求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

解直角三角形; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 按逆时针顺序排列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，菱形 $\text{[math]}$ 可以绕点 $\text{[math]}$ 旋转，连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 所夹的锐角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 在菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，如图 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到如图 $\text{[math]}$ 所示的位置时， $\text{[math]}$ 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3) 设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一周的过程中，当 $\text{[math]}$ 所在的直线经过点 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 陇南栗川砖塔被中华人民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．栗川砖塔设计科学，造型优美，其仿木结构砖雕精美逼真，是陇南市境内保存较完整的两座砖塔之一，是研究宋代建筑技术和艺术的实物资料，对研究宋代建筑艺术具有较高的价值．李华同学想运用所学数学知识测塔的高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到塔前的广场，如图，站在 $\text{[math]}$ 点测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，继续沿远离塔方向走16.5米到 $\text{[math]}$ 处，测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一平面内， $\text{[math]}$ ，求塔 $\text{[math]}$ 的高度（结果精确到1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

综合题普通

3. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 上的点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 求y关于x的函数表达式.

(3) 连结 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，连结 $\text{[math]}$ .

①在 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为一边的角等于 $\text{[math]}$ 时，求y的值.

②作点H关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ ，当点H落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难