已知四边形是正方形，点为射线上一点，连接并以为对角线作正方形，连接，．

1. 已知四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间满足的关系式．

【考点】

正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 依题意补全图形；
$\text{[math]}$ 用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

综合题困难

2. 实践与探究

(1) 操作一：如图①，对折矩形纸片 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ．把纸片展平后，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $\text{[math]}$ 上，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

①当矩形 $\text{[math]}$ 是正方形时， $\text{[math]}$ 是 ▲ 三角形；

②当 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形时，求边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

③若点P、 $\text{[math]}$ 、C共线，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 操作二：如图②，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．先将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在矩形 $\text{[math]}$ 的内部，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ．然后沿过点D的直线折叠，使点C落在直线 $\text{[math]}$ 上，折痕为 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ．再将矩形沿过点G的直线继续折叠，折痕为 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为点 $\text{[math]}$ ．我们发现，点H的位置不同，点B的位置也不同．当点 $\text{[math]}$ 恰好与点 $\text{[math]}$ ．重合时，线段 $\text{[math]}$ 的长为．

综合题困难

3. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是正方形．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，正方形 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，使点G正好落在 $\text{[math]}$ 上，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3，在（2）条件下， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值为．

综合题困难