已知二次函数.

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且函数图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求此二次函数的解析式；并根据图象直接写出函数值 $\text{[math]}$ 时自变量x的取值范围；

(2) 在（1）的条件下，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（ $\text{[math]}$ ）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段 $\text{[math]}$ 的三等分点，求m的值.

(3) 已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， q（p，q是实数， $\text{[math]}$ ）时，该函数对应的函数值分别为P，Q.若 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ .

【考点】

二次函数图象的几何变换; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与不等式（组）的综合应用;

【答案】

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综合题困难

1. 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 $\text{[math]}$ 为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：

水平距离x/cm	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度y/cm	28.75	33	45	49	45	33	0

(1) ①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm；

②求满足条件的抛物线解析式：

(2) 技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度 $\text{[math]}$ ，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 $\text{[math]}$ 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 $\text{[math]}$ 为274cm，球网 $\text{[math]}$ 高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 $\text{[math]}$ 的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点 $\text{[math]}$ 处时，击球高度 $\text{[math]}$ 的值（乒乓球大小忽略不计）．

综合题普通

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线表达式，并根据图象写出当 $\text{[math]}$ 时x的取值范围；

(2) 请写出一种平移方法，使得平移后抛物线的顶点落在直线 $\text{[math]}$ 上，并求平移后抛物线表达式．

综合题普通

3. 根据以下素材，探索完成任务．

如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1	我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，另一端固定在墙体 $\text{[math]}$ 上，其横截面有2根支架 $\text{[math]}$ ，相关数据如图2所示，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
素材2	已知大棚有200根长为 $\text{[math]}$ 的支架和200根长为 $\text{[math]}$ 的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1	确定大棚形状	在图2中以点O为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2	尝试改造方案	当 $\text{[math]}$ 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3	拟定最优方案	只考虑经费情况下，求出 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题普通