某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．

1. 某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过 $\text{[math]}$ 年后，该项目的资金为 $\text{[math]}$ 万元．

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；

(3) 若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【考点】

数列的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 若有穷整数数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且各项均不相同，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列．对 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的导出数列．

(1) 分别写出 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的导出数列；

(2) 是否存在 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 使得其导出数列 $\text{[math]}$ 的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的 $\text{[math]}$ 数列；若不存在，说明理由；

(3) 设 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的导出数列分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的充分必要条件是 $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.

(2) 若 $\text{[math]}$ 中的部分项 $\text{[math]}$ 组成的数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，2为公比的等比数列，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 已知各项均为整数的数列{a_n}满足a_n²≤1，1≤a₁²+a₂²+…+a_n²≤m，m，n∈N^* ．

(1) 若m=1，n=2，写出所有满足条件的数列{a_n}；

(2) 设满足条件的{a_n}的个数为f（n，m）．

①求f（2，2）和f（2016，2016）；

②若f（m+1，m）＞2016，试求m的最小值．

解答题普通