某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.02In﹣0.2．策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.08In﹣0.46．当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．

1. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：

策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In₊₁＝1.02In﹣0.2．

策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In₊₁＝1.08In﹣0.46．

当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除．

(1) 设第一周的虫害指数Ⅰ₁∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？

(2) 设第一周的虫害指数Ⅰ₁＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？

【考点】

数列的函数特性; 等比数列的通项公式;

【答案】

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解答题普通

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(3) 在（2）的条件下，设 $\text{[math]}$ ，问是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得数列 $\text{[math]}$ 是单调递增数列？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明你的理由.

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 是无穷数列.给出两个性质：①对于 $\text{[math]}$ 中任意两项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在一项 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；②对于 $\text{[math]}$ 中任意项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在两项 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否满足性质①，说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ 是递增数列， $\text{[math]}$ ，且同时满足性质①和性质②，证明： $\text{[math]}$ 为等差数列.

解答题困难

3. 已知:等差数列 $\text{[math]}$ 的公差大于0,且 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根;数列 $\text{[math]}$ 的前n项的和 $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式;

(2) 记 $\text{[math]}$ ,求 $\text{[math]}$ 的最大值并写出相应的 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通