已知为抛物线的弦，点在抛物线的准线上.当过抛物线焦点且长度为时，中点到轴的距离为.

1. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 在抛物线的准线 $\text{[math]}$ 上.当 $\text{[math]}$ 过抛物线焦点 $\text{[math]}$ 且长度为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为直角，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦点为F，A，B是抛物线 $\text{[math]}$ 上两点（A，B互异）.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程.

(2) O为坐标原点，G为线段 $\text{[math]}$ 中点，且 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点；

（ⅱ）x轴上的定点E满足 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，求 $\text{[math]}$ 的最大值（用含p的代数式表示）.

解答题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，直线l与该抛物线C相交于M ， N两点，过点M作x轴的垂线，与直线 $\text{[math]}$ 交于点G ，点M关于点G的对称点为P ，且O ， N ， P三点共线.

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 若过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T ，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由.

解答题普通

3. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，当直线 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难