将三颗骰子各掷一次，设事件“三个点数都不相同”，“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于（用数字作答）．

1. 根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为 $\text{[math]}$ 下雨的概率为 $\text{[math]}$ ，既吹东风又下雨的概率为 $\text{[math]}$ ，则在吹东风的条件下下雨的概率为.

填空题容易

2. 已知事件A，B相互独立， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题容易

3. 根据超市统计资料显示，顾客购买产品 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，购买产品 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，既购买产品 $\text{[math]}$ 又购买产品 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，则顾客购买产品 $\text{[math]}$ 的条件下购买产品 $\text{[math]}$ 的概率为.

填空题容易

1. 假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率是.

填空题普通

2. 花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为．

填空题普通

3. 某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人．从中任选3名班干部参加学校的义务劳动．设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则 $\text{[math]}$ .

填空题普通

1. 已知一种元件的使用寿命超过 $\text{[math]}$ 年的概率为 $\text{[math]}$ ，超过 $\text{[math]}$ 年的概率为 $\text{[math]}$ ，若一个这种元件使用到 $\text{[math]}$ 年时还未失效，则这个元件使用寿命超过 $\text{[math]}$ 年的概率为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 苍南168黄金海岸线由北向南像一条珍珠项链，串联了一个个金色沙滩､岛礁怪石､肥沃滩涂和一座座渔村古寨､山海营地，被赞为中国东海岸“一号公路”.现有小王和小李准备从烟堆岗，炎亭沙滩，棕榈湾，滨海小镇4个网红景点中随机选择一个游玩，设事件 $\text{[math]}$ 为“小李和小王选择不同的景点”，事件 $\text{[math]}$ 为“小李和小王至少一人选择炎亭沙滩景点”，则 $\text{[math]}$ （）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 盒中装有10个乒乓球，其中7个新球，3个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.

场上位置	边锋	前卫	中场
出场率	0.3	0.5	0.2
球队胜率	0.8	0.6	0.7

(1) 当甲出场比赛时，求球队输球的概率；

(2) 当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；

(3) 如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.

解答题普通

2. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 $\text{[math]}$ 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 $\text{[math]}$ .

(1) 若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 $\text{[math]}$ ，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；

(2) 若一条信息有 $\text{[math]}$ 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 $\text{[math]}$ 的信息熵 $\text{[math]}$ ；

(3) 将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， 2，3，⋯， $\text{[math]}$ ， ⋯）.证明：当 $\text{[math]}$ 无限增大时， $\text{[math]}$ 的数学期望趋近于一个常数.

参考公式： $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、

(1) 已知报名者 $\text{[math]}$ 组人数之比为 $\text{[math]}$ ，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设 $\text{[math]}$ 组中的每一个人答对某道题的概率分别为 $\text{[math]}$ ，从中任选一人，求此人答对该题的概率；

(2) 从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记 $\text{[math]}$ 为其中女性的人数，求 $\text{[math]}$ 的数学期望．

解答题普通

1. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%

单选题普通

2. 已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

解答题普通