已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ 表示）；

(3) 在（2）的条件下，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有解，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最大值，若不存在，请说明理由.

【考点】

函数的最大（小）值; 函数恒成立问题; 对数的性质与运算法则; 换底公式及其推论; 对数函数的单调性与特殊点;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对定义域 $\text{[math]}$ 内的任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则称函数 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”.

(1) 判断函数 $\text{[math]}$ 是否为定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，求常数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是定义域 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 利普希兹条件函数”，若存在，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否有最小值，若有，求出最小值；若没有，说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的值域；

(2) 若不等式 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通