如图，是的外接圆，是的直径，过O作于点E，延长至点D，连结，使．

1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，过O作 $\text{[math]}$ 于点E，延长 $\text{[math]}$ 至点D，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形的面积; 切线的判定;

【答案】

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综合题普通

1. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：点A在 $\text{[math]}$ 上．

求作： $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ．

作法： ①作射线 $\text{[math]}$ ；

②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 $\text{[math]}$ 于点C和点D；

③分别以点C，D为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交点B；

④作直线 $\text{[math]}$ ．

则直线 $\text{[math]}$ 即为所求作的 $\text{[math]}$ 的切线.

根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

(1) 使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2) 完成下面的证明.

证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

由作图可知，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ ．

∴ $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ．

∵ 点A在 $\text{[math]}$ 上，

∴直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线（） (填写推理依据) ．

综合题普通

2. 已知：如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 为切点．

求作： $\text{[math]}$ 的另一条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为切点．

作法：以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

作直线 $\text{[math]}$ ．

直线 $\text{[math]}$ 即为所求．

(1) 根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面证明过程．

证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 为切点，

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ． ∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ． ∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的半径，

∴ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线（）（填推理的依据）．

综合题普通

3. 已知：点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

求作：直线 $\text{[math]}$ ，使其过点 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 相切．

作法：①连接 $\text{[math]}$ ；

②分别以点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交于 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ ；

③作直线 $\text{[math]}$ ．

直线 $\text{[math]}$ 就是所求作直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，

∵点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ▲ °（）（填推理的依据）．

∴四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，

∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 半径，

∴直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线（）（填推理的依据）．

综合题普通