已知抛物线经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B.求：

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过坐标原点O，与x轴交于另一点A，顶点为B.求：

(1) 抛物线的解析式；

(2) $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 自变量x满足 $\text{[math]}$ 时，函数y的最小值是 $\text{[math]}$ ，求m的值.

【考点】

二次函数的最值; 二次函数y=ax²+bx+c的图象; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示）

(2) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，与其对应的函数的最大值为 $\text{[math]}$ ，求b的值．

综合题困难

2. 已知二次函数 $\text{[math]}$ （k是常数）

(1) 求此函数的顶点坐标.

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，该函数有最大值 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？会不会存在最大值？

特例研究：若两个正数的和是1，那么这两个正数可以是： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， …

由于这样的正数有很多，我们不妨设其中一个正数是 $\text{[math]}$ ，另外一个正数为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可以看出两数的乘积 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的二次函数，乘积的最大值转化为求关于 $\text{[math]}$ 的二次函数的最值问题．

方法迁移：

(1) 若两个正数x和y的和是6，其中一个正数为 $\text{[math]}$ ，这两个正数的乘积为z，写出z与x的函数关系式，并画出函数图象．

(2) 在（1）的条件下，z的最大值为：，并写出此时函数图象的至少一个性质．

(3) 问题解决：

由以上题目可知若任意两个正数的和是一个固定的数，那么这两个正数的乘积存在最大值，即对于正数x，y，若x+y是定值，则xy存在最大值．

类比应用：

利用上面所得到的结论，完成填空：

①已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ ，则当x＝时， $\text{[math]}$ 取得最大值为；

②已知函数y₁＝2x-2+m（x≥1），m为正定值，函数y₂＝-2x+8（x<4），则当x为何值时， $\text{[math]}$ 取得最大值，最大值是多少？

综合题困难