如图，为的直径，是的切线，为切点，连接.垂直平分，垂足为，且交于点，交于点，连接， .

1. 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线， $\text{[math]}$ 为切点，连接 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 在（2）的条件下， $\text{[math]}$ ，求阴影部分的面积.

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等边三角形的判定与性质; 切线的性质; 扇形面积的计算; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在△ABC中，AB=AC，请按要求解答问题.

(1) 作线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2) 在（1）的基础上，若AC-BC=2，△BCE的周长为8，求AB与BC的长.

综合题普通

2. 已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C ，使AB＝AC ，连结AC ，过点D作DE⊥AC ，垂足为E ．

(1) 求证：DC＝BD；

(2) 求证：DE为⊙O的切线．

综合题普通

3. 已知：AB为⊙O的直径，AB=2，弦DE=1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．

如图1，若DE∥AB，求证：CF=EF；

如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．

综合题困难